算法之 _ 欧拉公式

#数学

##１. 引子

看傅立叶变换的时候，一直奇怪，幂指数是怎么映射成三角函数的？学习了一下欧拉公式，果然很神奇，用到了自然常数 e，圆周率π，虚数 i，三角函数 sin/cos，指数，还有泰勒展开．不是算法有多难，只是涉及基础太多，经常被卡住，总结如下．

##２. 泰勒展开

泰勒展开是用多项式逼近原函数，这么做是因为像 sin(x) 这样的函数，如果代入 x=4 很难算出结果，但是将 x 的值代入形如 f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x3…的多项式就很容易计算。具体是用原函数的导数实现的，把函数展开成多项式，公式如下：

其中 Rn(x) 是余项

##３. 自然常数 e

e 是自然常数 (欧拉数)，它是一个约等于 2.718 的无理数，定义是

它的含义可以通过复利来理解，假设你有 1 块钱，年利息是 1 块钱（100%），一年后可拿到两块钱 (1+1/1)^1=2；按利滚利计算，如果半年付一次利息 (1+1/2)^{2=2.25；一个月付一次息，(1+1/12)}12=2.61；每天付一次息，(1+1/365)^365=2.715，当 x 驱于无穷时 e 约为 2.718．

##４. 自然指数 e^x 的泰勒级数展开

把 e^x 在 x=0 处展开，由于 e^0=1 且 e^x 的导数还是 e^x，展开后得到

上图是 e^x，以及展开式前 5 项和前 10 项拟合的图像

##５. 复数

复数是形如 a+b*i 的数，其中 a,b 是实数，i^2=-1.（对应直角坐标系）

在复变函数 (复数作为自变量和因变量的函数) 中，变量 z 可以写成 z=r (cosθ+ isinθ)．r 是 z 的模，即 r = |z|; θ是 z 的辐角，复数记作点 Z(a,b) 或向量 OZ（对应极坐标系）

把乘一次 i 看成相对 0 点逆时针转 90 度，乘两次，转 180 度，转成实轴的 -1，转三次是 -i，转四次又回到单位 1。因此可以把其虚部看成定义如何旋转。

##６. 把虚数 i 代入 e^x 的展开式

虚数 i 是 -1 开方，因此有 i^1=i, i^2=-1，i3=-i，i^4=1

此时可以看到其结果分为实部和虚部两部分

##７. 把 sin(x) 做泰勒级数展开

在 x=0 处展开，由于 sin(0)=0，cos(0)=1，sin’(x)=cos(x)，cos’(x)=-sin(x)

##８. 把 cos(x) 做泰勒级数展开

在 x=0 处展开

##９. 欧拉公式

由以上几步，可以看到 e^ix 的实部和虚部正好对应 sin(x) 和 cos(x) 的展开，据此，得到欧拉公式：

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。

下图中，将上式右侧表示为二维坐标中的点，xy 轴分别表示其实部虚部，θ为转角 (即上式中的 x)，转动半径为单位 1（模不变）．它的几何意义就是随着虚部 x 的增加不断转圈．

可以把 e^(ix) 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，e^(ix) 表示在单位圆上转动了 x 弧度 (即某个角度时) 得到的向量，以此类推，e^(πi) 在单位圆上转了半圈。显然得到的是实轴上的 -1，然后与 1 合并可抵消得到 0，由此得到：

##１０. 扩展成时间的函数

上图中又加入了 t，把 e^(ix) 想成 e^(iwt)，t 是时间，w 是系数。把平面上的转圈扩展成了空间中的转圈，纵轴表示时间 t，两个横轴分别为实部 (cos(t)) 和虚部 (sin(t))，蓝线经过的点是 e^ix，即，把时域上的 e^ix 分别投射到了实轴 cos(t) 和虚轴 sin(t)，它们都是时间 t 的函数．图中可看到正余和余弦的投射（红／绿），如果用 python 做 3D 图，拖动旋转角度效果更直观．这就傅立叶变换原理：将时域值拆分映射到频域，通过三角函数的叠加表示。

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