几种常见的数学分布
几种常见的数学分布
#数学
1. 什么是数学期望
举个例子：某城市有 10 万个家庭，没有孩子的家庭有 1000 个，有一个孩子的家庭有 9 万个，有两个孩子的家庭有 6000 个，有 3 个孩子的家庭有 3000 个
(0 * 1000 + 1 * 90000 + 2 * 6000 + 3 * 3000) / 100000 = 1.11
数学期望 (mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和
0 * 0.01 + 1 * 0.9 + 2 * 0.06 + 3 * 0.03 = 1.11
2. 概率密度与累积分布
概率密度一般的写法是：P(X=a) = …，即 X 等于某个值 a 的可能性
累积分布一般的写法是：P(X<=a) = …，即 X 小于等于某个值 a
的所有可能性累加之和
这二者千万别弄混，否则就会被各种公式绕晕。下图是增量分布的概率密度图（橙色）和累积分布图（蓝色）。
3. 常见的分布
(1) 离散分布：
伯努利分布（零一分布，两点分布），二项分布，几何分布，泊松分布（Poisson 分布）
(2) 连续分布：
指数分布，正态分布（高斯分布），均匀分布
(3) 抽样分布：
卡方分布（X2分布），F 分布，T 分布
(4) 其它分布：
多项分布，Beta 分布，Dirichlet 分布
4. 伯努利分布
(1) 应用场景
应用于两种实验结果。要么成功，要么失败，一定程度上是二元的性质。比如：一个硬币抛一次人结果。
(2) 描述
进行一次事件试验，该事件发生的概率为 p，不发生的概率为 1-p，任何一个只有两种结果的随机现象都服从 0-1 分布。
5. 二项分布
(1) 应用场景
在独立 n 次实验中成功次数，比如：一个硬币抛 n 次，k 次正面朝上。
(2) 描述
上图是 n=100, p=0.5（抛硬 100 次, 每一枚硬币正面朝上的概率为 0.5），图中横轴为正面朝上的次数，纵轴为概率，可以看出正面朝上 50 次的可能性最大，为 0.08 左右。
6. 泊松分布
(1) 应用场景
某一区间内发生随机事件次数的概率分布，比如：每小时出生 3 个婴儿，某网站平均每分钟有 2 次访问。
(2) 描述
一个离散型随机变量 X 满足：
这样看起来就很抽象了，推荐看一看参考中的《如何通俗理解泊松分布》，简单地说一下上述公式怎么用，以出生婴儿为例，λ是每小时出生的婴儿的平均数，k 是 3 个婴儿，P(X=3) 是每小时出生 3 个婴儿的概率。从λ中我们就能看出单位时间和发生事件的大概关系。
上图是λ=2 时（平均每小时出生 2 个婴儿），出生 0 个的概率为 0.14，出生 1 个的概率为 0.27…
7. 几何分布
(1) 应用场景
第一次成功所进行的试验次数，比如：考几次能通过，抛几次硬币能出现正面。
(2) 描述
几何分布由 n 次伯努利分布构成，随机变量 X 表示第一次成功所进行试验的次数
从公式中很容易看出，经历了 k-1 次不中，和一次命中，以抛硬币为例，P(X=3) 是抛三次能抛到一次正面向上概率，前两次都是背面朝上，第三次正面朝上。如果单个硬币正面朝上的概率为 0.5，那么期望是 2 次。与二项分布相比，二项分布是抛 n 次硬币，有几次正面朝上，几何分布是抛几次出现第一次正布朝上。
上图是 p=0.5 时的几何分布，横轴是次数，可见抛一次就中的可能性最大为 0.5，两次中的可能性为 0.25…，次数越多，概率越小，整体平均下来基本是两次左右，因此，期望为 2。从期望就可以看出，抛第几次能出正面，主要还是取决于硬币本身正面朝上的概率。
8. 指数分布
(1) 应用场景
两次随机事件发生时间间隔的概率分布，比如：婴儿出生的时间间隔，网站访问的时间间隔。
(2) 描述
指数分布满足以下概率密度函数公式
λ> 0 是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）。即每单位时间内发生某事件的次数，还是生小孩为例，公式中的 x 是生两个孩子的时间间隔。 假设平均每一小时出生两个婴儿，则单位时间 1 小时出生 2 个婴儿，λ=2，期望 e=0.5（平均间隔 0.5 小时），如左图所示。
假设平均每两小时出生一个婴儿，则单位时间 1 小时出生 0.5 个婴儿，λ=0.5，期望 E=2（平均间隔 2 小时），如右图所示。λ越大，曲线下降越快，可见，指数分布是几何分布的加强版。
上图中 x 轴是时间间隔，y 轴是概率，不是说概率之和为 1 吗？为什么间隔为 0 的概率大于 1 呢？因为这是连续分布，某一点概率大于 1（但它所在区域很窄），也不影响函数线下面积之和为 1。
9. 正态分布
(1) 应用场景
连续型数据或者数据离散性小，数据基本符合正态分布特点。比如：群体的身高，智商，考试分数（中间多两边少）。
(2) 描述
若随机变量 X 服从一个数学期望为μ、方差 o^2 为的高斯分布，记为 N(μ，o^2)
上图是μ=1, o=2.0 的正态分布，简单地说，就是基本都分布在以μ为中心，分散在 o 范围之内，比如：全班平均分 80 分，考 100 的也少，不及格的也少。
10. 抽样分布
(1) 一些概率
抽样
如果整体样本可以一个一个判断叫普查，如果整体样本太多，没法一个一个判断，只能取一部分代表整体，叫抽样。统计量
统计量是根据样本数据计算出来的一个量，他是样本的函数，通常我们所关心的样本统计量有品均数、样本标准差等等。抽样分布
抽样分布也称统计量分布，以样本平均数为例，它是总体平均数的一个估计量，如果按照相同的样本容量，相同的抽样方式，反复地抽取样本，每次可以计算一个平均数，所有可能样本的平均数所形成的分布，就是样本平均数的抽样分布。卡方分布，T 分布，F 分布都是抽样分布。
(2) 卡方分布
设 X1,X2,......Xn 相互独立, 都服从标准正态分布 N(0,1), 则称随机变量χ2=X12+X22+......+Xn2 所服从的分布为自由度为 n 的χ2 分布.
(3) T 分布
设 X1 服从标准正态分布 N(0,1)，X2 服从自由度为 n 的χ2 分布，且 X1、X2 相互独立，则称变量 t=X1/((X2/n)^(1/2)) 所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布。
(4) F 分布
设 X1 服从自由度为 m 的χ2 分布,X2 服从自由度为 n 的χ2 分布，且 X1、X2 相互独立，则称变量 F=(X1/m)/(X2/n) 所服从的分布为 F 分布，其中第一自由度为 m,第二自由度为 n。
11. 参考
(1) 几种常见的分布
https://wenku.baidu.com/view/dc16311a777f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9f04.html
(2) 如何通俗理解泊松分布