从正态分布到 T 检验

1．说明

  接上次的 《几种常见的数学分布》。这次说说 T 分布和 T 检验，用词不够严谨，大家就领会精神为主吧~

2．什么是抽样

  如果整体样本可以一个一个判断叫普查，如果整体样本太多，没法一个一个判断，只能取一部分代表整体，叫抽样。

  比如说，一个班有 20 个人，我们可以把所有人的身高加一起，除以人数，计算均值，如果有 2000000 人，就无法把所有人身高都统计一遍再除以总数，一般情况下，就是取其中一部分，计算其均值，认为他们能代表全部。

3．正态分布

  先复习一下正态分布，比如说女人的身高一般在 160 左右，150, 170 的比较少，140,180 的更少，把身高当做横轴，人数作为纵轴画图，就可看到一个中间高两边低的钟形曲线，也就是正态分布。

  那什么不是正态分布呢？比如人的空腹血糖一般在 4-6 之间，而血糖高的 7,8,9 的很多，而低到 3,2,1 的就很少，不样一边多一边少的，就不是正态分布。

4．正态分布和 T 分布

如果只有 20 个人画一下算一下，就是正态分布；如果有 2000000 人，从中随机取出 20 个，画一图也就钟形，就叫 T 分布。

它俩的不同就在于，一个是抽样的，一个是全体的。规律都是中间高两边低对称的样子。当取样趋于无穷大时，T 分布就是正态分布，但一般都没法取太多。

5．假设检验

  如果有 2000000 个女的，你认为她们的身高是正态分布，均值 160（称理论值或标准值μ0），然后从中随机选了 20 个人，平均身高 161（μ），标准差为 5（上下浮动），那她们是否适合你所定义的正态分布均值 160 的规律呢？

  由样本信息对相应总体的特征进行推断称为统计推断。若对所估计的总体首先提出一个假设（平均身高 160），然后通过样本数据（20 个人）去推断是否拒绝这一假设，称为假设检验，如果符合这个假设就是 H0（无效假设 null hypothesis），如果不符合就是 H1（备择假设 alternative hypothesis）。

6．T 检验

  以 T 分布为基础的检验叫 T 检验。这里主要是判断一组样本是否符合我们设定的“统计推断”。将上例中的值代入公式，如果这 20 人的平均身高为 161，求 t 值。

  如果这 20 人的平均身高为 164

  可以看出 t 值的大小与抽样的均值 161，标准差 5，样本数 20，以及统计推断 160 相关。

7．如何查表

 H0 成立时 t 服从自由度 v=n-1=19 的 t 分布，查表如下：

  上面的 0.05 和 0.025 又是什么呢？是 p 值（p-value），p=0.05 意味着样本统计有 95% 的信心拒绝原假设，就是说 p 越小，原假设越可能被拒绝，一般 p 设成 0.05，自由度 19 时，它对应的 t 值为 2.093。

  当采样的 20 人平均身高为 161 时，t=0.894<2.093，即 H0 成立（抽样符合假设），当平均身高为 164 时，t=3.578>2.093，则 H1 成立（即这组抽样不符合假设）。

  就是说 t 差得越多，t 是因为误差造成的可能性 p 越小，既然不是因为误差，那就是因为本质不同，所以不符合假设。

8．单侧和双侧检验

  那上边为什么还有 0.05 和 0.1 的差别呢？它分别对应单侧和双侧检验。理论值μ0（160），抽样均值μ（161）。

双测检验值：

μ≠μ0（μ >μ0 或μ<μ0） 单测检验值：

μ>μ0（根据专业角度，μ不可能小于μ0） μ<μ0（根据专业角度，μ不可能大于μ0）

  通常我们用的都是双侧 t 检验，上例中用的也是双边的 p 值 0.05 对应的 t 值。

9．T 检验的应用条件

  要符合 t 检验的条件，才能计算 t 检验的统计值

(1) 必须是随机样本且相互独立

  比如抽得出自一个家庭，就只能统计这一家的，不能代表全国的。

(2) 来自正态分布的总体

  正态分布是一种特殊的 T 分布，判断正态分布的方法有很多，比如 Shapiro- Wilk (W 检验) 用于 3-50 个的小样本，Kolmogorov-Smirnov 检验 (D 检验) 用于小于 5000 的样本量，大于 2000 可做直方图，观察是否正态分布。

(3) 方差齐性

  均数比较时，要求两总体方差相等