时序预测之二 _ARIMA

1. 说明

 ARMA 回归滑动平均模型 (Autoregressive Moving Average Model,简记 ARIMA)，是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称 AR 模型）与滑动平均模型（简称 MA 模型）为基础“混合”构成。常用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。ARIMA 模型相对 ARMA 模型，仅多了差分操作。

2. 相关概念

(1) 自回归模型（AR）

  自回归模型 autoregressive model，简称 AR．在时序分析中，描述时间序列｛yt｝自身某一时刻和前 p 个时刻之间相互关系的模型称自回归模型，其形式为：

  其中Φ1, Φ2,…, Φp 是模型参数，εt 是白噪声序列，它反映了所有其它随机因素的干扰．其中 p 为模型阶次，即 yt 由前 p 个值决定．

(2) 滑动平均模型（MA）

  滑动平均模型 moving average model，也称移动平均模型，它将时间序列{yt}看成白噪声序列的线性组合，为什么误差能描述模型呢？假设某个值可通过之间前 N 个值的平均值预测，稍作变化，即实际值可以通过前一值的预测值加误差得到．因此实际值可用多个误差值的累加来表示．其形式为：

(3) 回归滑动平均模型（ARMA）

  简单地说：AR 模型是建立当前值和历史值之间的联系，MA 模型是计算 AR 部分累积的误差。ARMA 是两个维度的和．

(4) 数据预处理

 ARMA 要求被分析的数据呈正态分布，平稳，零均值．平稳性一般是指：均值为常数，方差为常数，且自协方差为常数．比如说上升的趋势中，均值就不是常数；如果震荡幅度越来越大，则方差不是常数。   如果仅是均值非０的情况，可减去均值；如果趋势可用线性拟合，可以减去拟合后的趋势；另外还可以用差分，或者季节性差分的方法使之平稳；对于非正态分布，可使用对数处理．

(5) 差分

  差分是将数据进行移动之后与原数据进行比较得出的差异数据，这里的移动是指上移或者下移．简单的说，比如对某支股票的价格数据做一阶差分，就是将每日价格减去前一天的价格．   在 python 中，差分运算可使用 pandas 的 diff(periods=n) 函数实现，其中 n 为阶数，默认为一阶差分，一阶差分的具体操作是 df.shift()-df．用于生成平稳数据，比如下面的曲线．

  一阶差分后

  由此可见，差分之后，去掉了趋势，均值趋于０．有助于分析其它特征．

(6) 自相关与偏自相关（ACF&PACF）

  自相关 acf 和偏自相关 pacf 是分析时序数据的重要方法，是在平稳条件下求得的．   自相关函数 Auto Correlation Function，简称 ACF．形如：

 Ｘ轴表示滞后值，Ｙ轴从 [-1,1]，表示了这些值的相关性．比如左边第一点相关性为 1，就是说该点与它自己完全相关．从图中可观察到：12 个月为周期的相关性相当明显的．调用方法如下：

1
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from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plot_acf(df['xxx'])

  注意时序数据中不能包括空值，如果之前用了一次一阶差分和一次十二阶差分，应去掉前 13 个为空的值．   图中蓝色部分是描述的统计显著性，如果数据随机分布，Y 轴的位置会在蓝色区域之内．因此，要着重看蓝色区域以外的点．   自相关系数包含了其它变量影响下的相关关系，有时需要只考虑某两个变量的相关关系，即偏相关系数．其中的偏字，指的是只考虑首尾两项的关系，把中间项当成常数，使用了偏导数的方法．使用方法如下：

1
2
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
plot_pacf(df['xxx'])

(7) 拖尾和截尾

  我们通过观察自相关图和偏自相关图来确使用哪种模型，以自相关图为例，先看看图片呈现的几种形式．

  左边的图呈直线形式衰减，说明可能包括趋势，需要进一步差分；中间是截尾图，它指的是在某个值（如图中的 7）后截止为 0；右则是拖尾图，指的是按指数形式或正弦形式有规律地衰减．   如果自相关系数拖尾，偏自相关系数 p 阶截尾，则使用 p 阶的 AR 模型．   如果自相关系数 q 阶截尾，偏自相关函数拖尾，则使用 q 阶的 MA 模型．   简单的讲，它们两个都是看截尾截在哪儿．   如果自相关函数和偏自相关函数均拖尾，则使用 ARMA 模型，由于 AR 和 MA 相互影响，阶数需要从小到大逐步尝试．

(8) 模型检验

  1. 模型对训练数据的拟合
      用模型对训练数据做拟合，用观察或者计算误差的方式，查看二者差异，差异越小越好．

  2. 检查残差的自相关函数
      残差的自相关函数应该没有可识别的结构．

  3. AIC 信息准则

 AIC 信息准则 Akaike information criterion，是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，AIC 值越小越好，也有根据 AIC 自动选参数的工具．

3. 步骤

  具体使用 python 调用 statsmodels 库实现．statsmodels 是一套统计工具集．具体需要考虑三个参数：d，p，q．其中 d 是消除趋势的差分阶数，p 是 AR 阶层，q 是 MA 的阶数．步骤如下：

  1. 做时序图观察基本的趋势和周期．

  2. 分析平稳性，正态性，周期性；并对数据进行转换．

  3. 做自相关和偏自相关图，确定模型阶次．

  4. 模型检验

  5. 用模型预测．

4. 问题与解答

  1. 做 ARMA 分析前是否应该剔除周期性因素？   我们可以从自相关图中看出周期性波动，比如上边右侧的拖尾图，它说明某天与前 7,14,21 天都强相关．如果发现强相关，可先进行多阶差分（季节差分）后，再进一步使用 ARMA 模型处理．需要注意的是各层次差分在预测时都需要对应的还原．

  2. 做长期预测时如何应对衰减？   我在做盐城上牌预测时就遇到了严重的衰减问题，当时需要预测之后几百天的数据，而 ARMA 在预测了几十天之后，就从类似正弦波型衰减成了一条直线，导致我最终放弃了该模型，改为使用线性拟合趋势，严重损失了精度．后来看复赛排名第一的大神分享，他也使用 ARMA，并且也有衰减问题，不同的是他采用按月预测，相比于按日预测，衰减就好得多，非常赞！

5. 参考

  1. 第七篇时间序列分析

https://max.book118.com/html/2014/1223/10828140.shtm